# 线代学习笔记

# 亿些知识

同济大学《线性代数》前四章部分内容

# 0. 行列式

# 0.1. 定义：

$$D=det(a)=\begin{vmatrix}a_{1,1}&...&a_{1,m}\\.&.\\.&&.\\a_{n,1}&...&a_{n,m}\\\end{vmatrix}\\=\sum (-1)^t \prod_{i=1}^n a_{i,p_i}$$

其中，$p$ 是一个 $1\to m$ 的排列，$t$ 是其逆序对数。

# 0.2. 性质：

• Lemma 0.2.1. 行列式与其转置行列式相同
• Lemma 0.2.2. 上三角矩阵行列式等于其主对角线之积
• Lemma 0.2.3. 行列式交换两行（列），行列式变号
• Lemma 0.2.4. 行列式可提某行（列）公因子
  • 由上述两条得 行列式任意两行（列）成比例，行列式为零
• Lemma 0.2.5. 把行列式某一行每个元拆为两个之和，可据此将行列式裂为两个
• Lemma 0.2.6. 行列式某行乘个系数，加到另一行，行列式不变

# 0.3. 按行展开

定义余子式 $M_{i,j}$ 为行列式把 $i$ 行 $j$ 列删掉后的行列式乘上 $a_{i,j}$，定义代数余子式 A_{i,j}=(-1)^{i+j} M_

# 0.4. 定理

• Lemma 0.3.1. 若第 $i$ 行除 $a_{i,j}$ 外都为 $0$ ，则 $D=a_{i,j}\times A_{i,j}$
• Lemma 0.3.2. 行列式等于某一行每个元素乘上它的代数余子式，这就是行列式按行展开
  • 某行所有元素的代数余子式挨个乘上另一个行所有元素，结果为 $0$

# 1. 矩阵

# 1.1. 定义

就是个数表

单位矩阵

记做 $E$ 主对角线全 $1$ 其余为 $0$ 的矩阵

纯量阵

$\lambda E$

伴随矩阵

记做 $A^*$ 由 $A$ 每个元素的代数余子式构成

系数矩阵

线性方程组的系数

常数矩阵

线性方程组隔壁的常数

增广矩阵

系数矩阵 + 常数矩阵

# 1.2. 运算

乘法

$$C=A*B\\ c_{i,j}=\sum_{k=1}^a a_{i,k}\times b_{k,j}$$

转置

$$A^T=a_{j,i} \\ (A^T)^T=A \\ (AB)^T=B^TA^T$$

逆

若 $det(A)\not= 0$ 则叫 $A$ 非奇异矩阵，此时它有逆

定义是 $AA^{-1}=E$

一个矩阵的逆唯一

$A^{-1}={1\over |A|}A^*$

(AB)^{-1}=B^{-1}A^

秩

定义 $k$ 阶子式为在矩阵中任取 $k$ 行 $k$ 列，所得出的 $k^2$ 个元素按原来位置组成的数表

定义 $R(A)$ 表示矩阵 $A$ 的秩，即最大的满足 $R(A)$ 阶子式不为 $0$

可逆矩阵秩是满的，叫满秩

用秩可以判断线性方程组解的情况

$A$ 系数矩阵，$B$ 增广矩阵

$$R(A)<R(B) \ \ \ none\\ R(A)=R(B)=n \ \ \ 1\\ R(A)=R(B)<n \ \ \ inf$$