首页 Notes

pAyRE5R.jpg

# 2024-11-4 zdp

# L’Hospital

lim⁡x→x0f(x)=0,lim⁡x→x0g(x)=0\lim_{x\to x_0}f(x)=0,\lim_{x\to x_0}g(x)=0

lim⁡x→x0f’(x)g’(x)=lim⁡x→x0f(x)g(x)=A{\lim_{x\to x_0}{f’(x)\over g’(x)}=\lim_{x\to x_0}{f(x)\over g(x)}}=A

lim⁡x→x0+\lim_{x\to x_0^+} 同样可用
可一直洛

lim⁡x→1x2−3x+2x3−x2−x+1=lim⁡x→12x−33x2−2x−1=−10nan?\lim_{x\to 1} {x^2-3x + 2\over x^3-x^2-x+1}=\lim_{x\to 1}{2x-3\over 3x^2 -2x-1}={-1\over 0} nan?

lim⁡x→0x−sin⁡xxsin⁡2x=x−sin⁡xx3\lim_{x\to 0} {x-\sin x \over x\sin^2x}={x-\sin x\over x^3}

  • (先用等价无穷小替换使得形式简单)

# 2.1 ∞∞\infty\over\infty

  • 关注有没有导数 （一次可导而第二次不可导）

lim⁡x→x0f(x)g(x)\lim_{x\to x_0} f(x)^{g(x)}

eg(x)ln⁡f(x)=e^{g(x)\ln f(x)}=

  • 总之，就是要推柿子为除法形式

# examples

lim⁡x→+∞ex(1+1x)x2=1\lim_{x\to +\infty}{e^x\over {(1+{1\over x})^{x^2}}}=1

lim⁡x→+∞ex−x2ln⁡(1+1x)\lim_{x\to +\infty} e^{x-x^2\ln(1+{1\over x})}

令 t=1xt={1\over x}
ans=e12ans=e^{1\over 2}
2.

lim⁡x→+∞xln⁡(x+ax−a)=ln⁡(x+ax−a)1x=2a\lim_{x\to +\infty}x\ln({x+a\over x-a})={\ln({x+a\over x-a})\over{1\over x}}=2a

or 把 x 放进 ln 然后是常用模型
3.

lim⁡x→0+(cot⁡x−1x)=xcos⁡x−sin⁡xx2=−xsin⁡x2x=0\lim_{x\to 0^+}(\cot x -{1\over x})={x\cos x-\sin x\over x^2}= {-x\sin x\over 2x}=0

lim⁡x→0+sin⁡xx=lim⁡x→0exln⁡sin⁡x=1\lim_{x\to 0^+} \sin x^x={\lim_{x\to 0}e^{x\ln\sin x}}=1

∀i,ai>0lim⁡x→0(∑aixn)1x\forall i, a_i > 0 \lim_{x\to 0}({\sum a_i^x\over n})^{1\over x}

数列极限不可使用洛必达法则，但可利用海涅定理置换为函数然后随便做

lim⁡n→∞(ntan⁡1n)n2\lim_{n\to \infty} (n\tan {1\over n})^{n^2}

=lim⁡n→∞(1+tan⁡tt−1)1t2=\lim_{n\to \infty}(1+{\tan t\over t}-1)^{1\over t^2}

\color{red}\texttt

lim⁡n→∞n2(arctan⁡an−arctan⁡an+1)(a>0)\lim_{n\to \infty}n^2(\arctan{a\over n}-\arctan{a\over n+1}) (a>0)

只能说要嗯做…\color{blue}\texttt{只能说要嗯做…}
妙解？大力算出括号内
比方说

arctan⁡an=x,arctan⁡an+1=y\arctan {a\over n} = x,\arctan {a\over n+1}=y

那么有 $$\tan x = {a\over n},\tan y={a\over n+1}$$

$$x-y = \arctan {a\over a^2+n^2+1}$$

tan(x−y)=tan⁡x−tan⁡y1+tan⁡x×tan⁡y=an−an+11+an×an+1=aa2+n2+1\color{red} tan (x-y)={\tan x-\tan y\over 1+\tan x\times \tan y}={ {a\over n} - {a\over n+1} \over 1+ {a\over n} \times {a\over n+1} } ={a\over a^2 + n^2 + 1}

lim⁡n→∞n2arctan⁡aa2+n2+1=lim⁡n→∞an2n2+a2+1=a\lim_{n\to\infty}n^2\arctan {a\over a^2+n^2+1}=\lim_{n\to\infty}{an^2\over n^2+a^2+1}=a

f(x)f(x) 可二阶导，且\lim_{x\to 0}{f(x)\over x}=0,f’(0)=4,\lim_{x\to 0}[1+{f(x)\over x}]^

# 2024-11-6

# Taylor Expansion

Δy=f’(x)Δx+o(Δx)\Delta y= f’(x)\Delta x + o(\Delta x)

f(x)=f(x0)+f’(x0)(x−x0)+…+f(n)(x0)n!(x−x0)n+Rn(x)f(x)=f(x_0)+f’(x_0)(x-x_0)+…+{f^{(n)}(x_0)\over n! }(x-x_0)^n+R_n(x)

其中 Rn(x)=o[(x−x0)n](x→x0)R_n(x)=o[(x-x_0)^n] (x\to x_0)
Proof 构造 g(x)g(x) 直接相减，然后大力洛必达，一直洛到发现导数定义
又，nn 阶 poly 不带余项展开

唯一的！
可实现求导与间接的代换？

泰勒中值定理：若函数f(x)f(x) 在x0x_0 点某个开区间(a,b)(a,b) 内具有直到n+1n+1 阶导数，则对于任意x∈(a,b)x\in (a,b)

f(x)=f(x0)+f’(x0)(x−x0)f(x)=f(x_0)+f’(x_0)(x-x_0)

# example

函数展开为泰勒公式直接与间接法

(1+x)−1=1−x+x2−x3(1+x)^{-1}=1-x+x^2-x^3

Q: 拉格朗日余项和皮亚诺余项有何区别？？？
精确性

# probs

e−x2=1−x2+x42+…+(−1)kx2kk!+o(x2k+2)e ^{-x^2}=1-x^2+{x^4\over 2}+…+(-1)^{k}{x^{2k}\over k!}+o(x^{2k+2})

nia，直接把 exe^x 展开换成 x2x^2 即可

ln⁡(2−3x+x2)=ln⁡(1+(1−3x+x2))=(1−3x+x2)−(1−3x+x2)22\ln (2-3x+x^2)= \ln (1 + (1-3x + x^2) )= (1-3x + x^2)-{(1-3x + x^2)^2\over 2}

有点唐了

ln⁡(2−x)(1−x)=ln⁡(2−x)+ln⁡(1−x)=ln⁡2+ln⁡(1−x2)+ln⁡(1−x)\ln (2-x)(1-x)=\ln(2-x)+ \ln (1-x)=\ln2 + \ln (1-{x\over 2})+\ln (1-x)

两项相加即可

Key: 找到基本的形式，即含xx 的项好幂

# application

极限题直接 tm 展开
注意一般展开到 o(除数)o(除数) 即可

误差估计（带精度）
3.
求 tm 的导数

x2ln⁡(1+x)=x2(x−x22+x33−…)x^2\ln (1+x) = x^2 (x - {x^2\over 2} + {x^3\over 3}-…)

注意到，相当于移位，求 100 阶导取 98 项即可
所以是

−198=y’100!{-1\over 98}={y’\over 100!}

y’=−97!×9900y’=-97!\times 9900

就 tm 嗯做即可！！！

还 tm 有证明题
4.1
若 f(x)f(x) 在 [a,b][a,b] 上有二阶导数，f‘(a)=f’(b)=0f‘(a)=f’(b) = 0，∃ϵ∈(a,b),\exists \epsilon \in (a,b), 使得

f’(ϵ)≥4(b−a)2∣f(b)−f(a)∣f’(\epsilon) \ge {4\over (b-a)^2} |f(b)-f(a)|

注意到，证明题容易注意到，不做了…

4.2

# 利用导数判断函数性质

(sin⁡xxcos⁡x3)({\sin x \over x\sqrt[3]{\cos x}})

md，波波告诉我们，嗯导就完了。