# 反演公式不全

证个球球

还缺 min-max 容斥，单位根反演

好像莫比乌斯反演可以看做子集反演系统在因子多重集上的特例

所以莫反的技巧在子集反演上也可以用

诶我不会莫反技巧啊，那没事了

反演 ： 我们知道 $f(x)$ 关于 $g(x)$ 一个表达式，使用 $f(x)$ 反推出 $g(x)$ 的一个过程

二项式反演：

$$f(n)=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}g(k)\\\to g(n)=\sum_{k=0}^n (-1)^{n-k}\binom{n}{k} f(k)$$

莫比乌斯反演：

$$1.f(n)=\sum_{d|n} g(d)\\ \to g(n)=\sum_{d|n} \mu({n\over d}) f(d)$$

$$2.f(n)=\sum_{n|d} g(d)\\ \to \sum_{n|d}\mu({d\over n})f(d)$$

斯特林反演

$$F(n)=\sum_{i=0}^n\begin{Bmatrix}n\\i\end{Bmatrix}G(i)⟺G(n)=\sum_{i=0}^{n}(-1)^{n-i}\begin{bmatrix}n\\i\\\end{bmatrix}F(i)\\ F(n)=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}\begin{Bmatrix}n\\i\end{Bmatrix}G(i)⟺G(n)=\sum_{i=0}^n\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}F(i)$$

子集反演

$$f(S)=\sum_{T\in S} g(T)\\\to g(S)=\sum_{T\in S}(-1)^{|S|-|T|}f(T)$$